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INTEGRALES DEFINIDAS

 



La integral definida está definida como un límite. Este límite puede calcularse con las fórmulas de integración inmediata. Para calcular el valor de la integral definida evaluamos primero el límite superior y después el límite inferior. La diferencia entre estos valores es el valor de la integral definida.

Calcula la integral definida:

  \begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx \end{equation*}

y representa geométricamente el resultado.

Calculamos la integral:

  \begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \left.\frac{x^4}{4}\right\vert_{1}^{2} \end{equation*}

Ahora evaluamos:

  \begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!x^3\,\cdot dx = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{15}{4} \end{equation*}

Este resultado representa el área bajo la curva y = x^3, desde x = 1 hasta x=2 y sobre el eje x. El cálculo de esta integral definida también se puede realizar utilizando la definición:


\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,\cdot dx = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)\left(\frac{b-a}{n}\right)}} \end{equation*}

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Ejemplo:

Calcula la siguiente integral definida:

  \begin{equation*} \int\limits_{2}^{5}\!e^{-x}\,\cdot dx \end{equation*}

La integral da:

  \begin{equation*} \int\limits_{2}^{5}\!e^{-x}\,\cdot dx = \left.-e^{-x}\right\vert_{2}^{5} = -e^{-5} + e^{-2} \approx 0.128597 \end{equation*}

Interpreta geométricamente este resultado.


Hasta aquí hemos considerado solamente integrando que están definidos positivos para el intervalo de integración. 

Donde la función f(x) es positiva para toda x que cumple a \leq x \leq b. Cuando esta condición no se cumple, tenemos el problema de que la altura de algunos rectángulos que dibujamos para medir el área es negativa. Y como es de esperarse, cuando se sumen estas áreas (negativas) con el área de los rectángulos que tienen altura positiva (cuando f(x_i) > 0), algunos valores se van a cancelar.

Cuando deseas calcular el área entre la curva y = f(x), el eje x desde x = a hasta x = b, tienes que considerar los casos en los que f(x) sea cero o negativa para todo a \leq x \leq b. De esta manera, no vamos a restar una parte del área que queda por encima del eje x con otra que quede por debajo.


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