SUMA DE REIMANN

 

       

        SUMA DE RIEMANN

La suma de Riemann es el nombre que recibe el cálculo aproximado de una integral definida, mediante una sumatoria discreta con un número de términos finito. Una aplicación común es la aproximación del área de funciones en un gráfico.

La suma representa el área total de los rectángulos y el resultado de esta suma se aproxima numéricamente al área bajo la curva f, entre las abscisas x=x0 y x=x4.

Desde luego, la aproximación al área bajo la curva mejora muchísimo en la medida que el número n de particiones sea mayor.  De esta manera la suma converge al área bajo la curva, cuando el número n de particiones tiende a infinito.

Dependiendo de donde se sitúe el punto tk en el intervalo [xk, xk-1] la suma de Riemann puede sobreestimar o subestimar el valor exacto del área bajo la curva de la función y = f(x). Es decir, los rectángulos pueden sobresalir de la curva o bien  quedar un poco por debajo de esta.

El área bajo la curva

La principal propiedad de la suma de Riemann y de la cual deviene su importancia, es que si el número de subdivisiones tiende a infinito, el resultado de la suma converge a la integral definida de la función:

Ejemplo: 

Determine en forma aproximada el área bajo la función: 

f(x) = (1/√(2π)) e(-x2/2)

Entre x=-1 y x=+1, usando una suma central de Riemann con 10 particiones. Comparar con el resultado exacto y estimar la diferencia porcentual.

Solución

El paso o incremento entre dos valores discretos sucesivos es:

Δx = (1 – (-1)/10 = 0,2

De modo que la partición P sobre la que se definen los rectángulos queda así:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Pero como lo que se quiere es la suma central, la función f(x) será evaluada en los puntos medios de los subintervalos, es decir en el conjunto:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

La suma (central) de Riemann queda así:

S=f(-0,9)*0,2 + f(-0,7)*0,2+f(-0,5)*0,2+…+f(0,7)*0,2+f(0,9)*0,2

Dado que la función f es simétrica, es posible reducir la suma a solo 5 términos y el resultado se multiplica por dos:

S = 2*0,2*{f(0,1)+ f(0,3)+ f(0,5)+ f(0,7)+ f(0,9)}

S =  2*0,2*{0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266}=0,683

La función dada en este ejemplo no es otra que la conocida campana de Gauss (normalizada, con media igual a cero y desviación estándar uno). Se sabe que el área bajo la curva en el intervalo [-1,1] para esta función es 0,6827.

video: