Volumen de Revoluciones

 

VOLUMEN DE REVOLUCIONES

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Método del disco. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = R w 2 π Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Fórmula del volumen por discos Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: ( ) ∫ = b a V f x dx 2 π ( ) si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: ( ) ∫ = d c V f y dy

Ejemplo: 

 

video: